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Dualzahlen

... die Basis der Informationsverarbeitung

Binärsystem

Ob man einen Lichtschalter, eine Steuerung (z.B. SPS) oder einen Computer betrachtet spielt keine Rolle. Diese Dinge haben eines gemeinsam:

Grundsätzlich gibt es nur zwei mögliche Zustände für die Verarbeitung eines Werts:

Aus oder Ein, Strom oder nicht Strom, Signal oder nicht Signal, 0 oder 1, ... . Entweder das Eine oder das Andere, „ein bißchen schwanger“ ist nicht möglich.

Das binäre Zahlensystem mit seiner Basis 2 mit den Dualzahlen 0 und 1 als einzig zulässige Werte erfüllt genau diese Anforderung. Man bildet damit die kleinstmögliche Einheit der digitalen Informationstechnik. Diese wird als Bit (binary digit) bezeichnet.

Positive ungebrochene, ganze Zahlen

Man sollte meinen, dass dadurch Probleme bei der Darstellung großer Zahlen bestehen. Wie wir schon auf der Eingangsseite zur Thematik Rechnen aufgezeigt haben funktioniert die Darstellung positiver Zahlen prinzipiell genauso wie im Dezimalsystem:

Man potenziert einfach mit der Basis 2 statt mit Basis 10 (oder sonst einem Basiswert) und addiert die aktiven Werte.

Position 8 7 6 5 4 3 2 1
Exponent 7 6 5 4 3 2 1 0
Potenz 27 26 25 24 23 22 21 20
Wert10 128 64 32 16 8 4 2 1

Wie bei jedem anderen Zahlensystem ist die kleinste positive Zahl der Wert von (Basis)0, hier also 20. Mit jeder weiteren Stelle nach links verdoppelt sich der Stellenwert (Multiplikation einer Zahl mit 2: Schiebe nach links um eine Stelle, hänge rechts eine 0 an).

Mit Ausnahme der Zahl 0 ergibt jede Zahl potenziert mit 0 immer 1. Mathematisch betrachtet kann 00 sowohl 0 als auch 1 ergeben, es ist unbestimmt.

Einige Rechenregeln

0 + 0 =0
0 + 1 =1
1 + 0 =1
1 + 1 =1 Überlauf 1 = 11
00 =0
x0 =1 wenn x > 0

LSB und MSB, zero based

Da wir den Schwerpunkt Informationstechnik haben, an dieser Stelle gleich einige wichtige Begriffe im Zusammenhang mit der binären Darstellung von Zuständen in der Digitaltechnik.

Bei Dualzahlen nimmt die Wertigkeit der Stellen vor dem Komma von rechts nach links zu. Mit anderer Formulierung:

Die Position von LSB und MSB ist in einigen Bereichen sehr wichtig (beispielsweise bei der Darstellung negativer Zahlen (1 Bit wird für Vorzeichen benötigt), SPS und bestimmte Zustandsanzeigen mit Siemens S3/5/7 oder bei manchen Hardware-Architekturen). Manchmal gilt LSB first ...

Der Exponent muss zur Darstellung des kleinstmöglichen Stellenwerts (z.B. 0 oder 1) mit dem Wert 0 beginnen. Daraus ergibt sich, dass der Exponent einer Stelle in einer ungebrochenen Zahl gleich der ((Stellenposition von rechts gesehen) - 1) ist (Null basierend, zero based).

Die Position des LSB als letztes Element bedeutet, dass der niedrigste Wert ganz rechts steht. Somit steigt die Wertigkeit der Stellen von rechts nach links an jeder Stelle mit dem jeweiligen Exponenten der Basis (20, 21, 22, ..., 21000, ...).

Daraus ergibt sich, dass die binäre Ziffernfolge 102 (der tiefgestellte Wert gibt die Basis an) der Summe von 1*21 + 0*20 = 2 + 0 und somit dem Dezimalwert 210 entspricht.

Setzt man dies fort, dann kann man auch deutlich höhere Werte darstellen:

100000000002 =1*210+0*29+0*28+0*27+0*26+0*25+0*24+0*23+0*22+0*21+0*20
=1*1024+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0
=102410

Entsprechend einfach ist die jeweilige Umrechnung (auch für alle anderen Zahlensysteme mit Positions- oder Stellenwertsystem).

Positive gebrochene Zahlen, positive Dezimalzahlen

Bei gebrochenen Zahlen handelt es sich um Werte mit Kommastellen (z.B. 10,5910). Das Verhalten des Stellenwerts ist wie vor dem Komma, nur formuliert man die Beschreibung anders: Der Stellenwert nimmt mit jeder weiteren Stelle nach rechts um die Hälfte ab (Division durch 2: Schiebe nach rechts um eine Stelle).

Es findet eine Spiegelung statt, Exponent 0 ist die „Ursprungsebene“ der Spiegelung. Stellen links von Exponent 0 haben einen positiven Exponenten, rechts davon (= hinter dem Komma) ist der Exponent negativ.

Die Darstellung sieht wie folgt aus (Dezimal 14,875, binär 1110.111). Für das Komma haben wir bewusst keine Spalte eingefügt. Dadurch wird die „Spiegelung“ um 20 in den Zeilen Exponent und Potenz deutlicher sichtbar.

Position 4 3 2 1 1 2 3
Exponent 3 2 1 0 -1 -2 -3
Potenz 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3
Binär 1 1 1 0 1 1 1
Stellenwert10 +8 +4 +2 +0 +0,5 +0,25 +0,125
Zahl10 14,875

Durch die „Spiegelung“ um (basis)0 ergibt sich, dass der

Exponent im Nachkomma-Bereich gleich ((Stellenposition hinter dem Komma) × (-1)) ist.